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撰文 七君

距離高考還有30天，今天給大家來一道提神醒腦的美國高考送命題。

1982年5月1日的美國高考數(shù)學(xué)卷有這樣的一道題——

咱們先審題，這道題是說，小圓的直徑只有大圓的三分之一；如果小圓繞著大圓滾回原位，那么它轉(zhuǎn)了多少圈？

備選項(xiàng)有5個，這個不用翻譯大家也能看懂。

先不說答案，你會選什么？

相信很多人會選 B，這道車禍現(xiàn)場題的出題人也是這么考慮的。

如果把大圓圓周拉直，那么它的長度應(yīng)該是小圓圓周的3倍，所以小圓繞著它會滾3圈對嗎？

并不。

不信的話，我們動手實(shí)操一下。

大家看，小圓繞了大圓四分之一的時候，已經(jīng)轉(zhuǎn)了一圈了——

繞大圓一整圈的話，實(shí)際上小圓轉(zhuǎn)了4圈。所以正確答案是4，并不在任何一個選項(xiàng)里。

根據(jù)出卷方美國大學(xué)理事會（College Board）的事后聲明，這場美國高考出卷方的答案是錯的，而在當(dāng)時參與這場考試的30萬考生里，只有3個考生給出了正確答案。

最后，明明是美國大學(xué)理事會做錯了，除了那三人，所有人的分?jǐn)?shù)都被扣回去了。

紐約時報(bào)1982年5月25日對這次高考數(shù)學(xué)題出錯事件的報(bào)道（白框）

30萬人里只有3人做對，其實(shí)是因?yàn)檫@個現(xiàn)象太不可思議了，因此它在數(shù)學(xué)上也得到了賜名——硬幣悖論（coin paradox）。

如果是用兩個半徑一模一樣的圓來玩的話，我們發(fā)現(xiàn)，其中一個繞另一個公轉(zhuǎn)了半圈的時候，實(shí)際上它已經(jīng)自轉(zhuǎn)了360度了。如果繞另一個圓公轉(zhuǎn)一整周，那么它自轉(zhuǎn)了720度，也就是2圈。

這種題有沒有套路解法呢？其實(shí)是有的，答案就是：公轉(zhuǎn)的圓的圓心畫出的圓的半徑和這個圓的半徑之比。在下圖里，就是綠色的這個圓的半徑和小圓的半徑之比。

以1982年那道高考題為例，公轉(zhuǎn)的圓心的軌跡是個圓，而且它的半徑是小圓的4倍，所以是轉(zhuǎn)4周。

如果兩個圓直徑一樣，公轉(zhuǎn)的圓心繞過的圓形軌跡的半徑是它的2倍，所以是轉(zhuǎn)2圈。

所以硬幣悖論到底是怎么產(chǎn)生的呢？

大家來畫重點(diǎn)了，硬幣悖論的本質(zhì)，在于公轉(zhuǎn)的圓的每一個點(diǎn)畫出的路徑并不是圓形，而是腰子的形狀——腎形線。

腎形線（紅色）

如果兩個圓半徑相等，那么軌跡就是另外的器官——心臟線?？鬃釉贿^，根據(jù)看問題的角度，這種線也可以看成屁股線。

心臟線（藍(lán)色）

其實(shí)，解硬幣悖論的思路也可以用來解答亞里士多德在公元前4世紀(jì)提出的另一個絆倒了許多人的悖論。

在《論力學(xué)》（Mechanica）這本書中，問題很多的亞里士多德給大家出了這樣一個問題：

一個半徑為 R 輪子在地上滾一周，在沒有發(fā)生滑動摩擦的情況下，輪子上每一個點(diǎn)行走的距離都是 2πR 對吧？

這個輪子可以看作是很多小輪子一個一個套娃套出來的。小輪子相對大輪子也沒有發(fā)生滑動摩擦，大輪子滾一周，小輪子也滾一周。可是，小輪子的半徑 r 明明比大輪子小啊，為什么小輪子上任意一點(diǎn)的行走距離也是 2πR 呢？

這個悖論也被稱為亞里士多德飯桶圓桶悖論（Aristotle's wheel paradox）。兩千年來，這道題成了眾多世界馳名理科生的送命題。

比如，伽利略的解法是，如果把圓形輪子看作是有很多個邊的多邊形構(gòu)成的，那么小輪子在滾的時候，跳過了一些空隙...總之伽利略的意思是這樣的——

多邊形在滾動的時候，中間的小多邊形上的任意一點(diǎn)是跳著前進(jìn)的，并沒有走完大多邊形的全程。伽利略由此推論，圓形也是相同的情況。

這道題使他深信，如此一來，輪子就是用帶有無窮多孔隙的材料制成的，因此物質(zhì)必然是用很小的顆粒，也就是原子構(gòu)成的。

等等教練，原子論還可以這樣推？（大叔“嗯”音效）

但是利用做美國高考那道題的思路，我們就能越過伽利略的無窮腦“洞”，得到這個悖論的解法了。

實(shí)際上，和直覺不一樣，大圓上的每一個點(diǎn)行走的路徑長度并不是2πR，而是大于2πR，畫出來是這樣的線條，頭禿吧。

這個線叫做擺線。

同理，小圓上的每一點(diǎn)畫出來的軌跡也不是直線，也是擺線，只不過小圓的擺線長度比大圓的擺線要短，因?yàn)閳A滾一周，擺線長度是半徑的8倍。

亞里士多德的這個悖論還可以得出集合論中的一個推論：不管2段線段各自有多長，它們所擁有的點(diǎn)的數(shù)量都是一樣的；任何一個線段上的任何一點(diǎn)，都可以在另一個線段上找到對應(yīng)物。

這個推論放到整數(shù)里也是成立的：所有偶數(shù)的數(shù)量等于所有整數(shù)的數(shù)量。

話說回來，其實(shí)在生活中屁股線還挺常見的。

相信你見過圓形杯子里液面的這種柯基臀部形狀的反射光斑吧——

圓錐形杯子里液面的心臟線

它就是屁股線的形狀。這是因?yàn)椋?dāng)入射光和圓錐斜邊，也就是杯壁平行時，圓錐的回光線（一束光射到曲面上，反射回來的線條）就是屁股線。

在液面，入射光在錐形杯壁的反射光可被看作點(diǎn)光源，它會形成新心臟線形狀的回光線。

屁股線還有和日常生活中一個大家熟悉，但始終不明白原理的現(xiàn)象有關(guān)。

歌手們飆高音的時候，為什么要把麥拿遠(yuǎn)呢？

其實(shí)，這是因?yàn)榇蠖鄶?shù)的麥，也就是風(fēng)靡了50年的SM58麥接收聲音的范圍是屁股線勾勒出的屁股形狀的——

大多數(shù)麥克風(fēng)是心型指向的，也就是說只有在心形區(qū)域的聲音，才能得到有效接收。

這種麥也叫心型指向的，它可以有效屏蔽麥克風(fēng)后面的聲音，比如觀眾聲浪的聲音。所以歌手們要讓粉絲合唱的時候，就必須把麥對準(zhǔn)觀眾。

心型指向的麥克風(fēng)可以有效屏蔽麥克風(fēng)后面的聲音

心型指向的麥克風(fēng)還有一個特點(diǎn)，那就是拿太近時會產(chǎn)生近接效應(yīng)（proximity effect）——低音會放大。反之，拿遠(yuǎn)的時候，低音炮就被弱化了。所以在飆高音的時候，為了突出高音部分，KTV歌手們就會把麥拿遠(yuǎn)。

我們來看一下這個大哥的實(shí)地演示——

近接效應(yīng)：心型指向的麥克風(fēng)靠近聲源時，低音部會被放大，反之減弱。

全向式麥克風(fēng)，也就是可以接受以麥克風(fēng)為中心的球內(nèi)的聲音的那種就沒有這種現(xiàn)象。

懂了，學(xué)好數(shù)學(xué)，喝個奶茶唱個K都是腚記你的形狀。

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原標(biāo)題：《這道美國高考數(shù)學(xué)題，30萬人只有3個人做對，連出題人都做錯了》

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