原創(chuàng) 把科學(xué)帶回家 把科學(xué)帶回家

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撰文 七君

距離高考還有30天，今天給大家來(lái)一道提神醒腦的美國(guó)高考送命題。

1982年5月1日的美國(guó)高考數(shù)學(xué)卷有這樣的一道題——

咱們先審題，這道題是說(shuō)，小圓的直徑只有大圓的三分之一；如果小圓繞著大圓滾回原位，那么它轉(zhuǎn)了多少圈？

備選項(xiàng)有5個(gè)，這個(gè)不用翻譯大家也能看懂。

先不說(shuō)答案，你會(huì)選什么？

相信很多人會(huì)選 B，這道車禍現(xiàn)場(chǎng)題的出題人也是這么考慮的。

如果把大圓圓周拉直，那么它的長(zhǎng)度應(yīng)該是小圓圓周的3倍，所以小圓繞著它會(huì)滾3圈對(duì)嗎？

并不。

不信的話，我們動(dòng)手實(shí)操一下。

大家看，小圓繞了大圓四分之一的時(shí)候，已經(jīng)轉(zhuǎn)了一圈了——

繞大圓一整圈的話，實(shí)際上小圓轉(zhuǎn)了4圈。所以正確答案是4，并不在任何一個(gè)選項(xiàng)里。

根據(jù)出卷方美國(guó)大學(xué)理事會(huì)（College Board）的事后聲明，這場(chǎng)美國(guó)高考出卷方的答案是錯(cuò)的，而在當(dāng)時(shí)參與這場(chǎng)考試的30萬(wàn)考生里，只有3個(gè)考生給出了正確答案。

最后，明明是美國(guó)大學(xué)理事會(huì)做錯(cuò)了，除了那三人，所有人的分?jǐn)?shù)都被扣回去了。

紐約時(shí)報(bào)1982年5月25日對(duì)這次高考數(shù)學(xué)題出錯(cuò)事件的報(bào)道（白框）

30萬(wàn)人里只有3人做對(duì)，其實(shí)是因?yàn)檫@個(gè)現(xiàn)象太不可思議了，因此它在數(shù)學(xué)上也得到了賜名——硬幣悖論（coin paradox）。

如果是用兩個(gè)半徑一模一樣的圓來(lái)玩的話，我們發(fā)現(xiàn)，其中一個(gè)繞另一個(gè)公轉(zhuǎn)了半圈的時(shí)候，實(shí)際上它已經(jīng)自轉(zhuǎn)了360度了。如果繞另一個(gè)圓公轉(zhuǎn)一整周，那么它自轉(zhuǎn)了720度，也就是2圈。

這種題有沒(méi)有套路解法呢？其實(shí)是有的，答案就是：公轉(zhuǎn)的圓的圓心畫出的圓的半徑和這個(gè)圓的半徑之比。在下圖里，就是綠色的這個(gè)圓的半徑和小圓的半徑之比。

以1982年那道高考題為例，公轉(zhuǎn)的圓心的軌跡是個(gè)圓，而且它的半徑是小圓的4倍，所以是轉(zhuǎn)4周。

如果兩個(gè)圓直徑一樣，公轉(zhuǎn)的圓心繞過(guò)的圓形軌跡的半徑是它的2倍，所以是轉(zhuǎn)2圈。

所以硬幣悖論到底是怎么產(chǎn)生的呢？

大家來(lái)畫重點(diǎn)了，硬幣悖論的本質(zhì)，在于公轉(zhuǎn)的圓的每一個(gè)點(diǎn)畫出的路徑并不是圓形，而是腰子的形狀——腎形線。

腎形線（紅色）

如果兩個(gè)圓半徑相等，那么軌跡就是另外的器官——心臟線?？鬃釉贿^(guò)，根據(jù)看問(wèn)題的角度，這種線也可以看成屁股線。

心臟線（藍(lán)色）

其實(shí)，解硬幣悖論的思路也可以用來(lái)解答亞里士多德在公元前4世紀(jì)提出的另一個(gè)絆倒了許多人的悖論。

在《論力學(xué)》（Mechanica）這本書中，問(wèn)題很多的亞里士多德給大家出了這樣一個(gè)問(wèn)題：

一個(gè)半徑為 R 輪子在地上滾一周，在沒(méi)有發(fā)生滑動(dòng)摩擦的情況下，輪子上每一個(gè)點(diǎn)行走的距離都是 2πR 對(duì)吧？

這個(gè)輪子可以看作是很多小輪子一個(gè)一個(gè)套娃套出來(lái)的。小輪子相對(duì)大輪子也沒(méi)有發(fā)生滑動(dòng)摩擦，大輪子滾一周，小輪子也滾一周?？墒牵≥喿拥陌霃?r 明明比大輪子小啊，為什么小輪子上任意一點(diǎn)的行走距離也是 2πR 呢？

這個(gè)悖論也被稱為亞里士多德飯桶圓桶悖論（Aristotle's wheel paradox）。兩千年來(lái)，這道題成了眾多世界馳名理科生的送命題。

比如，伽利略的解法是，如果把圓形輪子看作是有很多個(gè)邊的多邊形構(gòu)成的，那么小輪子在滾的時(shí)候，跳過(guò)了一些空隙...總之伽利略的意思是這樣的——

多邊形在滾動(dòng)的時(shí)候，中間的小多邊形上的任意一點(diǎn)是跳著前進(jìn)的，并沒(méi)有走完大多邊形的全程。伽利略由此推論，圓形也是相同的情況。

這道題使他深信，如此一來(lái)，輪子就是用帶有無(wú)窮多孔隙的材料制成的，因此物質(zhì)必然是用很小的顆粒，也就是原子構(gòu)成的。

等等教練，原子論還可以這樣推？（大叔“嗯”音效）

但是利用做美國(guó)高考那道題的思路，我們就能越過(guò)伽利略的無(wú)窮腦“洞”，得到這個(gè)悖論的解法了。

實(shí)際上，和直覺(jué)不一樣，大圓上的每一個(gè)點(diǎn)行走的路徑長(zhǎng)度并不是2πR，而是大于2πR，畫出來(lái)是這樣的線條，頭禿吧。

這個(gè)線叫做擺線。

同理，小圓上的每一點(diǎn)畫出來(lái)的軌跡也不是直線，也是擺線，只不過(guò)小圓的擺線長(zhǎng)度比大圓的擺線要短，因?yàn)閳A滾一周，擺線長(zhǎng)度是半徑的8倍。

亞里士多德的這個(gè)悖論還可以得出集合論中的一個(gè)推論：不管2段線段各自有多長(zhǎng)，它們所擁有的點(diǎn)的數(shù)量都是一樣的；任何一個(gè)線段上的任何一點(diǎn)，都可以在另一個(gè)線段上找到對(duì)應(yīng)物。

這個(gè)推論放到整數(shù)里也是成立的：所有偶數(shù)的數(shù)量等于所有整數(shù)的數(shù)量。

話說(shuō)回來(lái)，其實(shí)在生活中屁股線還挺常見的。

相信你見過(guò)圓形杯子里液面的這種柯基臀部形狀的反射光斑吧——

圓錐形杯子里液面的心臟線

它就是屁股線的形狀。這是因?yàn)?，?dāng)入射光和圓錐斜邊，也就是杯壁平行時(shí)，圓錐的回光線（一束光射到曲面上，反射回來(lái)的線條）就是屁股線。

在液面，入射光在錐形杯壁的反射光可被看作點(diǎn)光源，它會(huì)形成新心臟線形狀的回光線。

屁股線還有和日常生活中一個(gè)大家熟悉，但始終不明白原理的現(xiàn)象有關(guān)。

歌手們飆高音的時(shí)候，為什么要把麥拿遠(yuǎn)呢？

其實(shí)，這是因?yàn)榇蠖鄶?shù)的麥，也就是風(fēng)靡了50年的SM58麥接收聲音的范圍是屁股線勾勒出的屁股形狀的——

大多數(shù)麥克風(fēng)是心型指向的，也就是說(shuō)只有在心形區(qū)域的聲音，才能得到有效接收。

這種麥也叫心型指向的，它可以有效屏蔽麥克風(fēng)后面的聲音，比如觀眾聲浪的聲音。所以歌手們要讓粉絲合唱的時(shí)候，就必須把麥對(duì)準(zhǔn)觀眾。

心型指向的麥克風(fēng)可以有效屏蔽麥克風(fēng)后面的聲音

心型指向的麥克風(fēng)還有一個(gè)特點(diǎn)，那就是拿太近時(shí)會(huì)產(chǎn)生近接效應(yīng)（proximity effect）——低音會(huì)放大。反之，拿遠(yuǎn)的時(shí)候，低音炮就被弱化了。所以在飆高音的時(shí)候，為了突出高音部分，KTV歌手們就會(huì)把麥拿遠(yuǎn)。

我們來(lái)看一下這個(gè)大哥的實(shí)地演示——

近接效應(yīng)：心型指向的麥克風(fēng)靠近聲源時(shí)，低音部會(huì)被放大，反之減弱。

全向式麥克風(fēng)，也就是可以接受以麥克風(fēng)為中心的球內(nèi)的聲音的那種就沒(méi)有這種現(xiàn)象。

懂了，學(xué)好數(shù)學(xué)，喝個(gè)奶茶唱個(gè)K都是腚記你的形狀。

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原標(biāo)題：《這道美國(guó)高考數(shù)學(xué)題，30萬(wàn)人只有3個(gè)人做對(duì)，連出題人都做錯(cuò)了》

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