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笛卡爾：締造牛頓的偉人，統(tǒng)一代數(shù)與幾何的“精確”數(shù)學(xué)家

2022-11-21 14:11

來源：澎湃新聞·澎湃號·湃客

本文選自《最后的數(shù)學(xué)問題》

作者：[美]馬里奧?利維奧（Mario Livio）

譯者：黃征

暢銷世界的數(shù)學(xué)哲學(xué)史經(jīng)典著作，重裝上市

《華盛頓郵報(bào)》當(dāng)年最佳圖書，被譯為全球8種語言

改編節(jié)目《偉大的數(shù)學(xué)問題》獲得艾美獎提名

科學(xué)和哲學(xué)巨匠們充滿智慧的傳奇故事，數(shù)學(xué)、物理、天文學(xué)和哲學(xué)的恢弘歷史畫卷

笛卡兒在數(shù)學(xué)上做出的貢獻(xiàn)堪為“人類有史以來在精確科學(xué)上邁出的最偉大的一步”。

——約翰·斯圖亞特·密爾

在科學(xué)領(lǐng)域，文藝復(fù)興見證了天文學(xué)中由哥白尼和開普勒開創(chuàng)，并由伽利略發(fā)展的日心說理論走向興盛。

伽利略利用望遠(yuǎn)鏡觀察到的結(jié)果孕育了對宇宙的新見解，而他的力學(xué)實(shí)驗(yàn)也展現(xiàn)了非凡的洞察力。與其他因素相比，這才是此后幾個世紀(jì)里，數(shù)學(xué)取得極大發(fā)展的最關(guān)鍵的動力。

當(dāng)亞里士多德哲學(xué)體系發(fā)出即將崩潰的第一個信號時，在與教會神學(xué)意識形態(tài)做斗爭的過程中，哲學(xué)家們已經(jīng)開始著手研究構(gòu)建人類知識大廈的新地基了。數(shù)學(xué)似乎是真理確定無疑的表現(xiàn)形式，它為新的開端提供了最完美、最堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

在這樣一個偉大的歷史轉(zhuǎn)折中，有一個人試圖找出一種能指導(dǎo)所有理性思考的固定模式，將人類所有的知識、科學(xué)成就，乃至人類社會倫理統(tǒng)一為一個整體。他就是法國年輕的政府官員勒內(nèi)·笛卡兒。

一個做夢的人

很多人都認(rèn)為，在近代所有偉大的哲學(xué)家之中，笛卡兒可以當(dāng)之無愧地排名第一，同時，他也是第一位真正意義上的生物學(xué)家。

除了這些功勛赫赫的標(biāo)簽，英國經(jīng)驗(yàn)主義哲學(xué)家約翰·斯圖亞特·密爾（John Stuart Mill，1806—1873）甚至將笛卡兒在數(shù)學(xué)上做出的貢獻(xiàn)描述為“人類有史以來在精確科學(xué)上邁出的最偉大的一步”。現(xiàn)在，你或許能理解笛卡兒的才能和智慧為什么令后世敬仰了。

圖1 笛卡兒

笛卡兒于1596年3月31日出生于法國拉海鎮(zhèn)（La Haye）。為了紀(jì)念這位著名的數(shù)學(xué)家，這座小鎮(zhèn)在 1801 年被改名為拉海 – 笛卡兒鎮(zhèn)，1967 年之后，人們更習(xí)慣稱之為笛卡兒鎮(zhèn)。

1604年，笛卡兒在年僅8歲時被送進(jìn)了拉弗萊什教會學(xué)院學(xué)習(xí)拉丁文、數(shù)學(xué)、文學(xué)、科學(xué)和經(jīng)院哲學(xué)，他在那里一直學(xué)習(xí)到了1612年。

由于笛卡兒自幼體弱，不能過多地運(yùn)動，因而被特許不用遵守學(xué)院嚴(yán)格的作息時間。他不必每天早晨5點(diǎn)起床，可以在床上度過整個早晨的時光。后來，每天利用清晨的時間進(jìn)行思考的習(xí)慣伴隨了笛卡兒一生。

有一次，他對朋友、法國數(shù)學(xué)家布萊茲·帕斯卡講到，對他來說，保持身體健康并取得豐碩成果的秘訣就是每天早上睡到自然醒。然而，正如我們之后看到的，這句話竟然一語成讖，成了笛卡兒命運(yùn)的一個悲劇性預(yù)言。

在離開拉弗萊什教會學(xué)院之后，笛卡兒又進(jìn)入了法國普瓦提埃學(xué)院學(xué)習(xí)，并最終以律師的身份畢業(yè)。但很明顯，他從來沒有真正從事過任何法律方面的工作。

出于浮躁不安的心態(tài)和對外面世界的向往，笛卡兒決定加入奧蘭治親王莫里斯的軍隊(duì)，當(dāng)時他們駐扎在荷蘭共和國（荷蘭的前身）的布雷達(dá)。

笛卡兒在布雷達(dá)服役期間，發(fā)生了一件小事，這個偶然事件成為笛卡兒思想發(fā)展過程中的一個標(biāo)志，具有深遠(yuǎn)的意義。

傳說有一天，笛卡兒在大街上閑逛，突然看到路邊立著一塊牌子，上面寫著一道數(shù)學(xué)問題，正在征集解決方法。笛卡兒請一位經(jīng)過的路人把這個問題從荷蘭語翻譯為拉丁語或法語。

幾個小時之后，笛卡兒就成功地解決了這個問題，這讓他真正認(rèn)識到了自己在數(shù)學(xué)方面的天賦。

而那位笛卡兒從未謀面卻為他翻譯問題的路人不是別人，正是荷蘭數(shù)學(xué)家和科學(xué)家艾薩克·比克曼（Isaac Beeckman，1588—1637），他對笛卡兒的物理數(shù)學(xué)研究的影響持續(xù)了數(shù)年之久。

在隨后的9年里，笛卡兒要么在混亂的巴黎逗留，要么在各個軍隊(duì)中服役。當(dāng)時的歐洲正在“三十年戰(zhàn)爭”（1618 ～ 1648 年）的痛苦中掙扎，戰(zhàn)火四起、處處烽煙，不同宗教派別和政治派系之間紛爭不休，從布拉格、德國直至特蘭西瓦尼亞（今羅馬尼亞西北部）到處都有戰(zhàn)爭。

對于年輕的笛卡兒而言，想要打一仗或加入軍隊(duì)是十分容易的事。盡管如此，在這段時期，他仍然利用戰(zhàn)斗的間隙學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，正如他后來所說的：“全身心地沉溺于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。”

1619年11月10日，笛卡兒做了三個夢。這些夢不僅對笛卡兒今后的生活產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，而且，或許也標(biāo)志著現(xiàn)代文明的開端。在描述這一事件時，笛卡兒在自己的筆記中寫道：“我激動萬分，并從中發(fā)現(xiàn)了一門絕妙科學(xué)的基礎(chǔ)?！边@是怎樣的三個影響深遠(yuǎn)的夢呢？

實(shí)際上，這三個夢中的前兩個是噩夢。

在第一個夢里，笛卡兒發(fā)現(xiàn)自己被狂暴的旋風(fēng)卷向了空中，風(fēng)的巨大力量使他不由自主地以左腳為軸快速旋轉(zhuǎn)，與此同時，他隨時會從空中摔下來，這讓他感到無比恐懼。這時一位老人出現(xiàn)了，遞給他一個國外出產(chǎn)的甜瓜。

第二個夢也是一幅十分恐怖的畫面，他被抓進(jìn)了一個陰森森的房間，房間里不時響起霹靂一般巨大的不祥的聲音，在他身體周圍不斷有到處飛濺的火花。

第三個夢與前兩個夢形成了鮮明的對比，呈現(xiàn)在笛卡兒面前的是一幅祥和靜穆的畫面，當(dāng)他四處環(huán)顧時，發(fā)現(xiàn)房間里有一張桌子，桌子上有書時隱時現(xiàn)。

這些書包括一部名為《詩人集成》（Corpus Poetarum）的詩歌選集和一部百科全書。他隨手打開了那本詩歌選集翻到了其中一頁，一眼看到的正是公元 4 世紀(jì)羅馬詩人奧索尼烏斯（Ausonius）的一首詩。

詩中寫道：

“我的生命應(yīng)當(dāng)走什么樣的道路？”（Quod vitae sectabor iter ？）此時，一個神秘的人從空氣中閃現(xiàn)了出來，他引用了另一句詩：“是又不是?！保‥st et non.）笛卡兒想給他看看奧索尼烏斯的詩歌，但整本書卻消失在了虛空中。

一般情況下，夢境總是似是而非、顛三倒四的，夢的意義并不在于其具體的內(nèi)容，而在于做夢的人對它的解釋。笛卡兒對這三個神秘的夢的解釋產(chǎn)生了令人震驚的影響。

他認(rèn)為，百科全書代表了科學(xué)知識的集合，詩集則代表了哲學(xué)、啟示和熱情?！笆怯植皇恰本褪侵漠呥_(dá)哥拉斯對立，笛卡兒認(rèn)為，這代表了真理和虛妄。（大家不必驚奇，一些心理學(xué)家甚至認(rèn)為甜瓜暗示了性。）

笛卡兒絕對確信，這三個夢表明人類的所有知識在理性思想的幫助下可以統(tǒng)一為一體。

1621年，笛卡兒退役了。在隨后的 5 年里，他繼續(xù)四處游歷。在旅途中，笛卡兒也沒有放棄研究數(shù)學(xué)。在這段時間里，所有見過笛卡兒的人，包括當(dāng)年具有巨大影響力的精神領(lǐng)袖紅衣主教皮埃爾·德·貝魯爾（Pierre de Bérulle，1575—1629）都被笛卡兒深刻的見解和清晰的思路深深打動，并為之嘆服。

很多人都鼓勵笛卡兒繼續(xù)他的研究，并將他的思想寫下來公開出版。對于一個年輕人來說，這種富于智慧的關(guān)愛和建議可能會適得其反，就像在電影《畢業(yè)生》中對達(dá)斯汀·霍夫曼所扮演的角色所說的那句忠告：“塑造自己！”（Plastics ！）

但是笛卡兒不同。他已經(jīng)把自己的目標(biāo)定為研究真理，因此他很容易就被說服了。最后，笛卡兒移居荷蘭，當(dāng)時，那里似乎能提供一個更安靜的思考環(huán)境。在隨后的 20 年里，他寫出了一本又一本不朽的著作。

1637年，笛卡兒出版了第一本關(guān)于科學(xué)基礎(chǔ)思考的杰作《談?wù)劮椒ā?，圖2展示的是這本書在首版時所使用的扉頁。這本著作還有三個值得著重關(guān)注的附錄，分別關(guān)于光學(xué)、氣象學(xué)和幾何學(xué)。

緊接著，笛卡兒在1641年出版了一本哲學(xué)方面的著作《第一哲學(xué)沉思集》，1644年又出版了一本物理學(xué)專著《哲學(xué)原理》。

在出版這幾本書以后，笛卡兒的大名傳遍整個歐洲，在他的仰慕者和有書信往來的人中，還包括已經(jīng)被放逐的波希米亞公主伊麗莎白（1618—1680）。

1649年，笛卡兒被邀請?jiān)L問瑞典，教授瑞典女王克里斯蒂娜（1626—1689）哲學(xué)。出于對王室成員的尊敬，笛卡兒接受了邀請。

事實(shí)上，笛卡兒在給女王的回信中充滿了17世紀(jì)所特有的謙卑，以致在今天我們看到這封信時都感覺有點(diǎn)可笑：“我已經(jīng)做好一切準(zhǔn)備以執(zhí)行女王陛下的任何命令。即便我出生在一個瑞典或芬蘭家庭，我對您也不可能比現(xiàn)在有更多的熱情，也不可能表現(xiàn)得更完美了?！?/p>

那位年僅23歲有著鋼鐵般意志的瑞典女王堅(jiān)持要求笛卡兒在早晨5點(diǎn)這個極不適宜的時間給她上課。在北歐這片土地上，清晨實(shí)在太過寒冷了。笛卡兒在給朋友的信中寫到，在這里甚至連思維也被凍僵了。后來事實(shí)證明，這種寒冷對他是致命的。

他說：“我在這里不得其所，很不自在。我只想要寧靜和沉思。如果一個人自己不能獲得寧靜，即使是地球上最有權(quán)勢的國王也不能賜予他?！痹谟赂业孛鎸θ鸬溟L達(dá)數(shù)月的嚴(yán)酷寒冬和黑暗的早晨之后（對于笛卡兒來說，這樣的清晨是他一生都在努力回避的噩夢），笛卡兒最終患上了急性肺炎。

1650年2月11日，就好像試圖避開再次被叫醒一樣，笛卡兒在凌晨4點(diǎn)鐘去世了，享年54歲。這位開辟了現(xiàn)代文明的人，成了自己的諂上心態(tài)和一位年輕女王的任性的犧牲品。

圖 4-2

笛卡兒被安葬在了瑞典。1667年，他的遺骸（或者說，至少是他遺骸的一部分）被運(yùn)回了法國。

在那里，笛卡兒的遺骸又被多次轉(zhuǎn)移，一直到1819年2月26日才最終埋葬在圣日耳曼·德佩教堂（Saint Germain des Prés）的一所附屬小禮拜堂內(nèi)（圖 3）。據(jù)說，笛卡兒的一塊頭蓋骨從瑞典流出后，經(jīng)過了數(shù)人之手，最后被化學(xué)家伯齊得烏斯（Berzelius）購得，并帶回了法國。

這塊頭蓋骨現(xiàn)存放在法國巴黎人類博物館的自然科學(xué)館中，經(jīng)常呈現(xiàn)在穴居人頭蓋骨的對面。

圖3 作者站在笛卡兒極其簡樸的黑色紀(jì)念碑旁邊

一個現(xiàn)代人

如果某個人的身上貼上了“現(xiàn)代”這個標(biāo)簽，通常意味著他能非常自如地與20 世紀(jì)（現(xiàn)在就是指 21世紀(jì)了）的專業(yè)人士或同行們進(jìn)行交流。

笛卡兒可以被稱為“現(xiàn)代”人，原因是他敢于質(zhì)疑自己之前所有哲學(xué)和科學(xué)中的結(jié)論。他曾經(jīng)說過，他所接受的教育的唯一用處是使他感到更加困惑，以及讓他認(rèn)識到了自己的無知。

在那本偉大的《談?wù)劮椒ā芬粫?，他寫道：“關(guān)于哲學(xué)，我發(fā)現(xiàn)，盡管它在人類最聰明的大腦中孕育了幾個世紀(jì)，但其中的所有觀點(diǎn)都存在爭議，并因此更加不確定。”

雖然笛卡兒本人的哲學(xué)思想同樣被后來的哲學(xué)家指出存在明顯的缺點(diǎn)，但是，笛卡兒這種前所未有的，甚至是對最基本概念的懷疑，確實(shí)使他顯得十分“現(xiàn)代”。

更重要的是，從笛卡兒現(xiàn)存著作中的觀點(diǎn)里可以看出，他認(rèn)識到數(shù)學(xué)的方法和推理步驟能精確地得出某種必然結(jié)論，而這正是在他之前的經(jīng)院派哲學(xué)所缺乏的。他的觀點(diǎn)表達(dá)得十分清楚：

“那些由簡單容易的推理所組成的長長鏈條，是幾何學(xué)家慣于用來完成最困難的證明的工具。這讓我有理由推測，所有能被人類理解的知識都能以同樣的方式彼此聯(lián)系。并且我認(rèn)為，如果我們拒絕接受那些貌似是真理，但并非真理的結(jié)論，而且遵守從一個事物演繹到另一事物的正確順序，那么，沒有什么是我們最終觸及不到的，或者隱藏得太深以致我們發(fā)現(xiàn)不了的?！?/p>

在笛卡兒看來，不僅物理宇宙是用數(shù)學(xué)語言寫就的，而且人類的所有知識都遵循數(shù)學(xué)的邏輯。

用笛卡兒的話說：“它（數(shù)學(xué)方法）是最強(qiáng)有力的知識工具，比人類能動性贈予我們的其他任何工具都有效，它是萬物的根源?！?/p>

因此，笛卡兒的一個重要目標(biāo)就成了如何證明物理世界，對他來說，這個現(xiàn)實(shí)是可以用數(shù)學(xué)語言描述的，可以不用依賴經(jīng)常誤導(dǎo)我們的感性認(rèn)識來描繪。

他提倡，人類在思維過程中應(yīng)當(dāng)過濾掉眼睛所能看到的，而將感知轉(zhuǎn)為思考。

笛卡兒堅(jiān)持認(rèn)為：“沒有任何確定的標(biāo)志能夠區(qū)分已被喚醒，還是仍在沉睡?！?/p>

但是，笛卡兒也懷疑，如果我們原以為真實(shí)的所有事物其實(shí)都不過是一場夢，那么我們怎么能知道，那些真實(shí)的事物甚至是地球和天空，不是某些“有無窮力量的惡魔”為我們制造出來的某種“夢幻般的虛妄”？

或者，正如伍迪·艾倫曾經(jīng)說過的：“如果一切都是幻覺，沒什么是真實(shí)存在的，那么會發(fā)生什么呢？如果是這樣，我絕對為我的地毯花了冤枉錢?！?/p>

這些疑問在笛卡兒腦海里不斷涌現(xiàn)，最終促使他說出了那句最著名的名言：“我思，故我在?！睋Q句話說，在思考的背后，應(yīng)當(dāng)存在一種意識心智。也許有點(diǎn)自相矛盾，懷疑這種行為本身卻不能被質(zhì)疑！

笛卡兒試圖從這一看起來微不足道的開端構(gòu)建一個完整、可信的知識體系。

笛卡兒廣泛涉獵了哲學(xué)、光學(xué)、數(shù)學(xué)、力學(xué)、醫(yī)學(xué)、胚胎學(xué)、形而上哲學(xué)，并在這些學(xué)科中都取得了對后世影響頗深的成就。

盡管笛卡兒堅(jiān)信人類理性思考的能力，他卻不相信僅憑邏輯就能揭示真理。在這一點(diǎn)上，笛卡兒得出了在本質(zhì)上與伽利略相同的結(jié)論：“就邏輯而言，三段論及其他大部分認(rèn)識在我們已知的領(lǐng)域內(nèi)是很有效的，但是，在探索未知領(lǐng)域時卻不見得同樣有效?！?/p>

而在他大膽嘗試徹底改造和重新構(gòu)建所有學(xué)科的基礎(chǔ)的過程中，笛卡兒試圖利用自己從數(shù)學(xué)方法中提煉出的規(guī)律，確保工作建立在實(shí)際、堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)之上。笛卡兒在《探求真理的指導(dǎo)原則》一書中描述了這些嚴(yán)格的指導(dǎo)性規(guī)律。

他從那些自己確信不疑的真理（類似歐幾里得幾何學(xué)中的公理）開始；接著，試圖把那些錯綜復(fù)雜的問題分解成若干更易于處理的簡單問題；然后，從那些最基礎(chǔ)的現(xiàn)象開始研究，逐步深入到其內(nèi)部復(fù)雜的本質(zhì)；最后，重復(fù)檢查整個過程以確保不會有任何可能的解決方法被忽略。

不用說，即使是通過這種嚴(yán)格的步驟小心翼翼地構(gòu)建，也不能保證笛卡兒的結(jié)論完全正確。事實(shí)上，盡管笛卡兒最為人稱道的是他在哲學(xué)上的巨大突破，但真正讓他獲得不朽聲望的還是他在數(shù)學(xué)上的成就。

在這里，我將簡要介紹他的一個非常簡單卻閃耀著奪目光芒的數(shù)學(xué)思想，它被密爾稱為“人類有史以來在精確科學(xué)上邁出的最偉大的一步”。

紐約市地圖上的數(shù)學(xué)問題

讓我們看看圖4所示的美國紐約市曼哈頓區(qū)的地圖——這只是整個曼哈頓區(qū)的一部分地圖。如果你站在34大街和第八大道的拐角處，而你想要找的人站在 59 大街和第五大道的交會處，你肯定會找到他，對嗎？這道題恰恰體現(xiàn)了笛卡兒的一種全新幾何學(xué)方法的精髓。

笛卡兒在《談?wù)劮椒ā返囊黄?106 頁的附錄中大體勾勒了這一思想，這篇附錄被稱為《幾何》。你也許很難相信，正是這個看起來十分簡單的概念從根本上改變了數(shù)學(xué)。

笛卡兒用微不足道的事實(shí)表明，正如曼哈頓地圖所展示的那樣，用平面上的一對數(shù)就能清晰無誤地確定一個點(diǎn)的位置（圖5a）。

之后，笛卡兒利用這一事實(shí)發(fā)展出了一門非常有用的理論——解析幾何。為了紀(jì)念笛卡兒，這種以兩條相交直線組成的參考系被命名為“笛卡兒坐標(biāo)系”。

傳統(tǒng)上，我們把水平線標(biāo)記為“ x軸”，把垂直線標(biāo)記為“y軸”，這兩條線相交的點(diǎn)被稱為“原點(diǎn)”。例如，在圖 5a 中所標(biāo)記的點(diǎn)A ，其橫坐標(biāo)值為 3，縱坐標(biāo)值為 5，這樣一來，點(diǎn)A就可以用一對有序數(shù) (3, 5) 表示了——注意，原點(diǎn)的坐標(biāo)值被規(guī)定為 (0, 0)。

圖4

圖5

試想一下，如果我們想描繪出平面上距離原點(diǎn)5個單位的所有點(diǎn)，肯定會畫出一個以原點(diǎn)為圓心、半徑為5個單位的圓（圖5b）。

如果在這個圓周上取一個點(diǎn)，其坐標(biāo)值為 (3, 4)，我們會發(fā)現(xiàn)這一坐標(biāo)值恰好滿足32 +42=52。事實(shí)上，我們可以很容易地證明（利用畢達(dá)哥拉斯定理），這個圓上的所有點(diǎn)的坐標(biāo)（x,y）都滿足X2 +Y2=52。

更進(jìn)一步地說，在這個平面上，只有這個圓周上的點(diǎn)的坐標(biāo)值能使等式X2 +Y2=52成立。這就意味著，代數(shù)等式X2 +Y2=52可以精確且唯一地表示這個圓。

換句話說，笛卡兒發(fā)現(xiàn)了一種能用代數(shù)等式表現(xiàn)幾何中曲線的方法，反之亦然。如果這種方法僅針對一個簡單的圓成立，那乍聽上去，這似乎沒什么值得激動的。

但事實(shí)上，今天我們所能見到的一切曲線圖，包括股票市場每周的波動圖、過去幾個世紀(jì)以來北極的氣溫變化圖，或者宇宙的比例圖，全部都來自笛卡兒這一天才的思想。

從此以后，代數(shù)和幾何突然之間不再是兩門獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支了，它們表達(dá)了相同的真理。描述一條曲線的數(shù)學(xué)等式暗含了該曲線所有我們能想象得到的特性，例如所有的歐幾里得幾何定理。

這還不是全部，笛卡兒進(jìn)一步提出，不同曲線可以用相同的坐標(biāo)系來描述，通過找出代表這些曲線的代數(shù)表達(dá)式構(gòu)成的方程組的一般解，進(jìn)而簡單地找到這些曲線的交點(diǎn)。

通過這種方法，笛卡兒充分利用代數(shù)學(xué)自身的優(yōu)勢糾正了傳統(tǒng)幾何學(xué)中那些令他極為厭煩的缺點(diǎn)。

例如，歐幾里得將幾何中的點(diǎn)定義為不可再分的、沒有大小的獨(dú)立存在體，而笛卡兒使用一對簡潔有序的數(shù)就能定義平面上的點(diǎn)。在此之后，歐幾里得那種模糊的定義方法就永遠(yuǎn)地過時了。

不過，這種蘊(yùn)含深刻見解的全新定義方式只是笛卡兒解析幾何思想的冰山一角。

笛卡兒還指出，如果坐標(biāo)點(diǎn)（x,y）中的X和Y這兩個數(shù)有某種關(guān)系，也就是說，X的每一個值都對應(yīng)著唯一的Y值，那么此時，X和Y就構(gòu)成了一種函數(shù)關(guān)系。函數(shù)的確無處不在，你在減肥時每天測到的體重值、孩子在每個生日那天測量的身高值，或者汽車在行駛途中車速與油表里程的關(guān)系，所有這些數(shù)據(jù)都能用函數(shù)來表示。

函數(shù)是現(xiàn)代科學(xué)家、統(tǒng)計(jì)學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家真正的“面包和黃油”，須臾不可或缺。

如果多次重復(fù)的科學(xué)實(shí)驗(yàn)或觀察最終得出了相同的函數(shù)關(guān)系，它們就可能被提升到自然規(guī)律的地位——這里所謂的規(guī)律是指所有自然現(xiàn)象都要遵循的、可用數(shù)學(xué)描述的行為方式。

例如，牛頓發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律（我會在本章稍后部分詳細(xì)地討論）。萬有引力定律指出如果兩個點(diǎn)上物體之間的距離擴(kuò)大兩倍，那么它們之間的引力效應(yīng)通常會降低為原來的四分之一。

笛卡兒的思想為用數(shù)學(xué)系統(tǒng)性地處理幾乎所有事物推開了一扇門——“上帝是一位數(shù)學(xué)家”這一理念的核心意思也不過如此。

從純數(shù)學(xué)的角度看，幾何和代數(shù)這兩門數(shù)學(xué)分支在過去被認(rèn)為是毫無關(guān)聯(lián)的，但笛卡兒證明了，如果從更高角度分析的話，兩者是完全等價(jià)的。

通過建立二者之間的等價(jià)關(guān)系，笛卡兒拓展了數(shù)學(xué)的研究范圍，為進(jìn)入分析領(lǐng)域鋪平了道路，讓數(shù)學(xué)家能輕易地在數(shù)學(xué)各分支學(xué)科之間進(jìn)行交叉研究。如此一來，不僅各種不同的自然現(xiàn)象都能用數(shù)學(xué)描述，甚至數(shù)學(xué)本身也變得更廣闊、更豐富、更統(tǒng)一了。

正如偉大的數(shù)學(xué)家約瑟夫 – 路易·拉格朗日（Joseph - Louis Lagrange，1736— 1813）指出的：“當(dāng)幾何和代數(shù)沿著各自的道路獨(dú)立前進(jìn)時，它們的進(jìn)展緩慢，并且應(yīng)用范圍也有很多限制。但是，當(dāng)這兩門科學(xué)結(jié)合起來以后，它們相互從對方那里汲取了新鮮的活力，相輔相成，并加快步伐邁向了完美?！?/p>

笛卡兒用下面這段文字作為《幾何》這本著作的結(jié)尾：“我希望后世子孫能友善地評價(jià)我，不僅針對我所解釋的那些事，而且針對我有意遺漏的那些內(nèi)容，這樣一來，其他人才能同樣享有發(fā)現(xiàn)的樂趣?！保▓D6）