原創(chuàng) 昍爸 小花生網(wǎng)

花友@昍爸（讀音：xuān）是中國科學院計算機博士、南京師范大學計算機專業(yè)的教授。

他在初中和高中時曾獲得全國數(shù)學奧林匹克聯(lián)賽一等獎，江蘇賽區(qū)第一名，高考數(shù)學考了滿分。現(xiàn)在家有兩位小朋友，分別是4歲和12歲。

昍爸平時特別注重孩子數(shù)學思維的培養(yǎng)，尤其注重培養(yǎng)孩子解決未知問題的熱情與能力，形成別具一格的數(shù)學思維訓練體系。針對這個問題，昍爸著有《給孩子的數(shù)學思維課》一書，得到了院士、長江學者、杰青等多位科學家的推薦。

今天，他結(jié)合自己學數(shù)學的經(jīng)驗，分享了如何培養(yǎng)孩子數(shù)學學習的興趣，建立數(shù)學思維的一些經(jīng)驗和建議。

本文由花友 @昍爸 發(fā)布于小花生寫作計劃

我的數(shù)學啟蒙經(jīng)歷...

不少人對我的數(shù)學啟蒙經(jīng)歷和我兒子昍昍的數(shù)學成績很好奇。

我小時候讀的是正兒八經(jīng)的村小，沒有受過任何校外數(shù)學訓練。在村小讀書時，有一年教我們數(shù)學的是代課教師。印象最深的是有一次我在課上聽著聽著就發(fā)現(xiàn)老師講錯了，于是舉手指出他的錯誤。

在爭論中老師很生氣，最后踢了我一腳。結(jié)果我立馬收拾書包跑回家了，整整三天都沒有上學。后來老師讓同學來勸說……我這才重新回到了學校?，F(xiàn)在回想起來，這種敢于質(zhì)疑的精神非?？少F，敢于質(zhì)疑老師、質(zhì)疑書本。

小時候雖然沒有玩具，但我從小特別喜歡干兩件事——玩撲克和下象棋，那時經(jīng)常和小伙伴們一起打牌下棋。這兩項活動對于訓練邏輯思維和數(shù)學能力都能起到非常好的作用。

撲克牌有很多玩法，能很好地鍛煉記憶力、計算能力和數(shù)學思維。比如，24點可以有效地鍛煉加、減、乘、除四則運算。而類似于跑得快、斗地主之類的撲克牌玩法，則蘊含了許多數(shù)學思想和方法，包括概率思維、最優(yōu)策略、組合、博弈等。

棋類游戲除了需要局部的最優(yōu)策略取得局部戰(zhàn)斗的勝利，更需要有全局觀，也就是數(shù)學上講的整體思維。我覺得在我的學習過程中，沒有學習過什么套路。那為什么最后高考數(shù)學能得滿分呢？其實這本是個假問題。習慣于學套路才難以得滿分，而遠離套路才有可能走得更遠。

我沒有奧數(shù)啟蒙老師，小時候?qū)W奧數(shù)就像那些不會游泳就直接被扔進湖里學游泳的那種。泳姿？只會狗爬，不優(yōu)美，卻非常實用。

壓箱底的解題秘訣就一條：把“題型沒見過”當成一種常態(tài)，從簡單開始、從特殊開始、從錯誤開始，從簡單到復雜，從特殊到一般，從錯誤到正確。如果非要用高大上的語言來貼個金，那就是歸納推理和類比推理。演繹推理是后來慢慢才習得的一種能力。

我的育兒經(jīng)驗...

我的孩子三年級時，“有本事你陪孩子寫作業(yè)啊”系列軟文戳中了無數(shù)父母的痛點，其中也包括當時有些彷徨的我。

很多人認為，昍爸是一個數(shù)學學霸，昍自然也不會差。其實不然。事實上，輔導孩子的路充滿曲折，其難度遠遠超過我自己學習的難度。

下面這些是三年級昍的一些測驗成績。有些朋友看到這樣的過山車似的分數(shù)，估計很難沉得住氣。

不學套路、不搞題海，這在當前的社會洪流中可以算是一種異類。一路堅持下來，其中的酸甜苦辣只有自己才能體會。

現(xiàn)在看來，這條路并沒有走錯。孩子目前對數(shù)學還有比較濃厚的興趣，更難得的是，孩子還保留著自己獨特的思維棱角，沒有過早地被抹平，經(jīng)常會冒出一些與標準答案不同的思路。

其實，小學中低年級的孩子，成績有起伏是很平常的事。此時，父母們能正確面對，并采取適當?shù)拇胧╋@得至關(guān)重要。

作為一個在一線輔導孩子的爸爸，我也總結(jié)了一點心得，跟大家一起分享。

（1）父母不要成為解決問題的“庸醫(yī)”

孩子在學習過程中碰到的各種問題最后統(tǒng)統(tǒng)表現(xiàn)為考試分數(shù)差這一癥狀。此時，大家要學會對癥下藥，切莫亂開藥方，成為一名“庸醫(yī)”。

在數(shù)學學習上，考試成績差這一癥狀的原因各種各樣：語文理解能力欠缺，粗心（包括看錯題、看漏條件、計算錯誤、答案謄寫錯誤等），列式不合理，最后才是真正不會做。

但消除病因的手段卻相去甚遠。不少父母在孩子學習出問題后都歸咎于訓練量不夠，希望”題海戰(zhàn)術(shù)"這一藥方能包治百病，但有時恰恰會適得其反。

碰到問題，很多父母的做法就是給孩子做加法，但有時候恰恰適得相反。這時，不妨嘗試做做減法。有段時間，我就主動和老師溝通，請求老師允許孩子少做作業(yè)。給孩子做減法，需要我們做父母的有足夠的膽略和勇氣。

（2）爸爸們要更加用于擔當教育孩子的責任

當孩子學習面臨問題時，理性的爸爸們普遍要比感性的媽媽們更淡定。然而，現(xiàn)在的家庭中更多地是媽媽陪伴和教育孩子。

于是，我們看到了越來越多的淑女完成了向河東獅的轉(zhuǎn)變。

不少媽媽也坦言，讓爸爸擔起責任很難。但一般而言，爸爸們的理性更有助于診斷孩子的問題。大部分時候，爸爸是因為太忙而無法承擔重任，但也有部分是因為想甩鍋給隊友，自己輕松。

即便是爸爸擔當了這一重任，也面臨著家庭和學校多方面的壓力，堅持正確比滑向錯誤要難的多，朋友圈里因為頂不住娃媽的壓力被迫讓孩子去上各種輔導班的例子數(shù)不勝數(shù)。

（3）不要只重視做錯的題，在做對的題上也要花功夫

大家都知道用錯題本去強化錯題的訂正，但很少有人會對孩子做對的題給予額外的關(guān)注。我的做法則有別于大家：無論是正確的還是錯誤的題，只要有價值，都要給予同等的重視。

即便是做對的題，也要引導他從多角度思考，并比較各種方法的優(yōu)劣，并通過改變前提達到舉一反三的效果。有時，甚至要鼓勵標新立異，發(fā)散孩子的思維。

（4）成為孩子興趣的放大器和助推器

大家可能經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)孩子關(guān)注或沉迷與一些大人眼中與學習成績無關(guān)的”不務正業(yè)“的事情。此時，如果粗暴地勒令其停止將會是一種糟糕的做法。低年級的孩子能夠獨立專研一件事情難能可貴。

你會發(fā)現(xiàn)，由好奇心和興趣驅(qū)動的學習專研能讓孩子在短時間內(nèi)迅速了解一個領(lǐng)域，甚至成為在這一方面勝過大人的“小專家”。這一快速學習能力恰恰是孩子日后所需要的。父母應該成為孩子興趣的放大器和助推器，而不是滅火器。

昍一直都對電腦拆解和組裝非常感興趣，我發(fā)現(xiàn)以后，專門給了他兩臺電腦用于拆解。有一次，他悶在房間搗鼓了半天，然后就給了我們下面的驚喜。

這個桌上擺著的“卡通電腦”，是孩子把舊電腦拆了，拿出電腦內(nèi)核和顯示器重新組裝成的新電腦，并且加了一層樂高外殼。

而且，他還給這臺電腦外接了一個自己網(wǎng)購的固態(tài)硬盤。因此，“卡通電腦”并不卡通，它可以像正常電腦一樣啟動。

（5）尊重孩子的思維方式

一名優(yōu)秀的教師或父母的一項素質(zhì)是能快速洞察和理解孩子的思維方式，而不死強迫讓孩子接受自己的思維。

即便是錯的，也要允許孩子充分表達自己的想法，并從中洞悉孩子的邏輯。列式錯誤是需要我們予以充分重視的，這說明孩子對問題有不同的理解，要充分允許孩子表達自己的理解，并分析他理解里正確的和錯誤的成分。

我的數(shù)學學習經(jīng)驗...

我自己總結(jié)了幾點數(shù)學學習經(jīng)驗，應該會對大家有用處。

（1）重視基本概念

學好數(shù)學，清晰地理解基本概念非常重要。其實，基本概念的重要性不僅是在數(shù)學領(lǐng)域里，在整個科學領(lǐng)域都一樣重要。

歐幾里得的平面幾何奠定了西方公理化方法的基礎(chǔ)。公理化方法是“從某些基本概念和基本命題出發(fā)，根據(jù)特定的演繹規(guī)則，推導一系列的定理，從而構(gòu)成一個演繹系統(tǒng)的方法。

歐氏幾何的數(shù)學大廈就是由基本概念（包括基本概念、基本關(guān)系）、公理、演繹規(guī)則和定理構(gòu)成。其中，基本概念居于重要的位置。

很多數(shù)學問題其實最終考察的是對基本概念的理解深度。但有些人卻在基本概念和定義都不清楚的情況下去追求公式記憶和快速解題，這其實是本末倒置。

說到這里，我舉幾個例子。

提到圓，很多人都會想到圓的周長和面積公式，但往往忽略了一個最重要的性質(zhì)，就是圓上的任何一點到圓心的距離都相等。

再比如高中時學的橢圓和雙曲線，很多人都側(cè)重于去記住橢圓和雙曲線的代數(shù)方程。但除了方程，這些曲線還有它們的幾何意義。許多時候，這些幾何含義都可以成為解決問題的利器。

（2）重視結(jié)論背后的原理

我自己學數(shù)學是很少背公式和結(jié)論的。自己不理解的結(jié)論很難記住，也容易記錯。

比如小學低年級的植樹問題、乘法分配律，我肯定會通過數(shù)形結(jié)合的方法去加深理解。

我記得某個培訓機構(gòu)為了讓孩子記住乘法分配律，居然用了一個“警察抓小偷”的故事來輔助記憶。但是如果用下面的數(shù)形結(jié)合的方法來輔助理解乘法分配律，那想忘記都難。

數(shù)形結(jié)合理解8×(6+4)=8×6+8×4

除了上面的簡單例子，包括等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和、以及大部分三角公式，我也都不會去記公式，而是重視這些公式的推導過程。這樣習得的知識，才能記得牢、用的活。

但現(xiàn)在的很多機構(gòu)教學卻與我的方法截然相反，小學二年級就讓孩子去記等差數(shù)列的球和公式和倍差倍問題的公式等。

例如，之前的一位好友在朋友圈曬了某培訓機構(gòu)的講義，我截取了一段，如下：

讓孩子多背背詩詞，尚有可能會成為下一個武亦姝，但這樣學數(shù)學絕不可能成為下一個丘成桐。

（3）有一股鉆勁

這一點可能是不少孩子在學習數(shù)學過程中所欠缺的。特別是現(xiàn)在很多培訓講究套路，不重視探索的過程，最后純粹變成了比誰見過的套路多。孩子一旦碰到?jīng)]有見過的問題，就容易產(chǎn)生畏難情緒，容易放棄。

學好數(shù)學，必須要有一股挑戰(zhàn)難題的韌勁。如果不經(jīng)常花一兩小時或更長時間去“啃”一道難題、消化難題，那數(shù)學是很難學好的。即便一段時間考了高分，那也不值得沾沾自喜，這種高分往往是曇花一現(xiàn)，難以持久。

小學的數(shù)學或許能通過訓練記憶的方式提高分數(shù)，但到了中學以后，純靠記套路的做法就越來越難收效了。

《原本》的作者歐幾里得曾說過“幾何無王者之道”，意思是幾何并沒有給王族的人單獨留有VIP通道。

這一點我非常贊同。包括幾何在內(nèi)的數(shù)學學習沒有捷徑可循，一切宣稱可以快速提分的，往往都是飲鴆止渴。數(shù)學問題可以千變?nèi)f化，我們需要的是修煉好內(nèi)功，這樣才能以不變應萬變。

但現(xiàn)在有些問題很嚴重，我所在的南京，小升初全民沖南外。沖外班培訓成為一個巨大的產(chǎn)業(yè)，之前跟一個沖外學生的爸媽交流，沖外培訓班要求2分鐘倒計時做一道題，直到看到問題就可以條件反射報出答案為止，最終很快地毀掉了一個孩子好不容易建立起來的深度思考能力。這，不是數(shù)學學習的正確途徑。

（4）形成了一套自己的解題模式

我自己不推薦海量刷題，但并不是說不用做題，我強調(diào)的是解題的方法。

我自己經(jīng)過這么多年的實踐，形成了一套自己的解題模式，能夠最大化解題的效果。具體地，可以將解題的整個過程分為應試階段和提升階段兩部分

應試階段分為五步：

第一，仔細讀題審題。這個階段很重要，千萬不要圖快，最好讀上兩遍，揣摩清楚出題人的意圖。

第二，觀察聯(lián)想。觀察、識別問題的結(jié)構(gòu)和模式，并與自己知識結(jié)構(gòu)中的已知問題進行分析、對比。

第三，探索和求解。在這個過程中，很多時候都是通過類比、歸納，尋找解題的思路。在小學階段，這個過程對于提升孩子的數(shù)學能力非常重要，類比和歸納是人類解決未知問題的法寶。

第四，永遠不要忘了問“是否是唯一解？”，這一點也很重要，非?？疾焖季S的完備性。一道題10分，如果有2個答案，你只答了1個，那就只得5分。

第五，記得驗算。驗算并不是簡單地重新做一遍，而是一門學問。關(guān)于驗算的內(nèi)容，完全可以寫上一整篇文章。

我這里只講幾點：首先，驗算方法千萬條，讀對題目第一條，確保沒有讀錯題和會錯意是最重要的，其次，要即時驗算、步步為營，最后，驗算方法多種多樣，要選擇最合適的方法，包括代入法、殊途同歸法、特殊值法、實驗驗證法、估算法等。

如果是應試，那么到這兒解題就結(jié)束了。但作為平時的練習，到這里還遠遠不夠。后面的思考才是對提升數(shù)學解題能力作用最大的。就好比健身，當你開始出汗的時候，后面一段時間的堅持才是鍛煉效果最好的。

那么還需要做什么呢？

第六，需要拷問自己：所采用的方法是否可以擴展？比如在n=10的時候可以用，但到n=1000的時候還能不能用？

第七，永遠要問自己，是否有其它解決方法？努力做到一題多解，并學會分析每種方法的好壞和適用條件。

第八，變換角色，把自己當成出題人。想一想如果自己來出題，可以怎么改變出題條件，真正做到舉一反三。

如果平時能夠做到這些，那我相信數(shù)學解題能力想不提升都難。

數(shù)學學習能培養(yǎng)什么？

雖說現(xiàn)在很多學科都強調(diào)培養(yǎng)孩子的思維能力，但無疑，數(shù)學依然是最好的思維體操。

通過數(shù)學學習，可以培養(yǎng)孩子的抽象能力、推理能力和解決問題的能力，并鍛煉公理化系統(tǒng)方法。

具體地，我覺得可以培養(yǎng)孩子的12大能力和6大優(yōu)秀的品質(zhì)。這些能力和品質(zhì)，對孩子日后的工作和生活具有非常積極的意義。

一些常見問題

第一：孩子要不要跟風學奧數(shù)？

奧數(shù)本身被市場妖魔化了。其實奧數(shù)本身也是數(shù)學，只是稍微難一點的數(shù)學。就像打乒乓球，沒有人說要不要學“奧乒”。只要教的方法得當，以啟發(fā)孩子思考為主，那么孩子在學習的過程中總是會受益。但如果純粹是套路的教法，那不如不學。

除非是像陶哲軒那樣具有天賦的孩子，一般不建議太提前學。因為大部分孩子的抽象思維能力在10歲之前還沒有得到發(fā)展，提前學只會起到事倍功半的效果，甚至可能會讓孩子產(chǎn)生厭學情緒。

10歲以后，大部分孩子的抽象思維開始逐步形成，此時如果學有余力，那么是可以開始了。12歲以后，你學微積分也沒人管。

第二：數(shù)學與計算什么關(guān)系？

我曾經(jīng)問過不少孩子兩個問題。第一個是數(shù)學有趣嗎？第二個是數(shù)學有用嗎？對于第一個問題，很多孩子覺得做好玩的數(shù)學問題會感覺有趣，做純粹的計算會感覺枯燥乏味。而對第二個問題，很多孩子的回答是在購物結(jié)算時有用。這就出現(xiàn)了一個問題，也就是孩子認為有用的數(shù)學恰恰是他們認為枯燥乏味的計算。

但事實上，數(shù)學≠計算。計算只是數(shù)學的冰山一角。所以，我們需要通過生活中的案例，拓展孩子對數(shù)學外延的認知。

華羅庚先生曾說：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數(shù)學。數(shù)學源于生活、高于生活、又回歸生活。生活中的數(shù)學對激發(fā)孩子的數(shù)學學習興趣有特殊的優(yōu)勢。生活中的數(shù)學看得見、摸得著，更能引起孩子興趣，解決實際問題更容易能讓孩子更容易獲得成就感。

原標題：《奧賽冠軍、計算機教授老爸：“雞娃數(shù)學，我堅持不學套路不搞題海！”》

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